题目内容

已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，对于任意的实数x1、x2（x1≠x2），都有
f(x1)+f(x1)
2
＞f(
x1+x2
2
)成立，且f（x+2）为偶函数．
（1）证明：实数a＞0；           
（2）求实数a与b之间的关系；
（3）定义区间[m，n]的长度为n-m，问是否存在常数a，使得函数y=f（x）在区间[a，3]的值域为D，且D的长度为10-a3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
分析：（1）根据函数的性质可得函数是下凹函数，结合二次函数的性质可得a＞0．
（2）由题意可得：函数f（x+2）的对称轴是y轴，根据y=f（x+2）的图象沿x轴向右平移两个单位即可得到函数y=f（x）的图象，可得二次函数y=f（x）图象的对称轴为x=2，进而得到a与b的关系．
（3）当区间[a，3]包含对称轴时，求函数值域需考虑对称轴是靠近区间左端点，还是靠近区间右端点，从而确定函数值域．看满足且D的长度为10-a3的a值是否存在．当区间[a，3]在对称轴右边时，函数在区间上是增函数，易求函数值域．再看满足且D的长度为10-a3的a值是否存在．
解答：解：（1）因为对于任意的实数x1、x2（x1≠x2），都有
f(x1)+f(x1)
2
＞f(
x1+x2
2
)成立，
所以函数f（x）下凹函数，
所以结合而二次函数的性质可得：实数a＞0．
（2）因为f（x+2）为偶函数，
所以函数f（x+2）的对称轴是y轴．
又因为y=f（x+2）的图象沿x轴向右平移两个单位即可得到函数y=f（x）的图象，
所以函数y=f（x）图象的对称轴为x=2，即函数f（x）关于x=2对称，
所以由二次函数的性质可得：-
b
2a
=2，即4a+b=0，
所以实数a与b之间的关系为：4a+b=0．
（3）由（2）可得：f（x）=ax2-4ax+1=a（x-2）2+1-4a，
当0＜a≤1时，f（x）min=1-4a，f（x）max=a3-4a2+1，
所以f（x）max-f（x）min=a3-4a2+1-（1-4a）=a（a-2）2，
由0＜a≤1时，1≤（a-2）2＜4，则a（a-2）2＜4，而10-a3＞9，不合题意；
当1＜a＜2时，f（x）min=1-4a，f（x）max=1-3a，
所以f（x）max-f（x）min=1-3a-（1-4a）=a，
由1＜a＜2，得10-a3＞2，所以a≠10-a3，不合题意；
当2≤a＜3时，f（x）min=a3-4a2+1，f（x）max=1-3a，
所以f（x）max-f（x）min=1-3a-（a3-4a2+1）=10-a3，
故4a2-3a-10=0，（4a+5）（a-2）=0，
因为2≤a＜3，
所以a=2．
综上所述：存在常数a=2符合题意．
点评：本题综合考查函数的奇偶性、单调性、对称性、值域、抽象函数等知识．注意分类讨论的数学思想方法．
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