Question

【题目】已知函数的两个零点为.

（1）求实数的取值范围；

（2）求证： .

Answer 1

【答案】（1）;（2）见解析.

【解析】试题分析: (1)方法一的思路是:求出函数 的最大值,有两个零点,再最大值一定大于零,求出实数的范围.方法二是转化为两个函数的图象有两个交点; (2)采用综合法和分析法证明不等式.构造函数 ,利用单调性求出的范围,构造函数 ,证明 在 上为增函数, ,化简,得证.

试题解析:（1）方法一： ，

①时， ， 在上单调递增，不可能有两个零点.

②时，由可解得，由可解得.

∴在上单调递减，在上单调递增，于是.

要使得在上有两个零点，则，解得，即的取值范围为.

方法二： ，可转化为函数与函数图象有两个交点.

∵，∴当时， ； 时， .即在上单调递增，在上单调递减.

∴.

∴，即的取值范围为.

（2）令，则，由题意知方程有两个根，即方程有两个根，不妨设.

令，则，由可得，由可得，∴时， 单调递增， 时， 单调递减.

根据已知有： ，要证，即证，即.

即证.令，下面证对任意的恒成立.

，∵，∴， .

∴.

∵，∴，∴.

∴在是增函数，∴，∴.

点睛: 本题主要考查函数的导数的综合应用,函数的单调性与零点,构造法的应用,考查学生分析问题解决问题的能力,难度比较大.