Question

如果数列{a_n}满足a₁=2，a₂=1，且

an-1-an

an-1an

=

an-an+1

anan+1

（n≥2），则这个数列的第10项等于

 

．

Answer 1

分析：由已知

an-1-an

an-1an

=

an-an+1

anan+1

∴数列{

an-1-an

an-1an

}是常数列，利用a₁=2，a₂=1求出项值

1

2

，并对

an-1-an

an-1an

=

1

2

转化构造出等差数列{

1

an

}，求出a_n，可得a₁₀

解答：解：∵

an-1-an

an-1an

=

an-an+1

anan+1

∴数列{

an-1-an

an-1an

}是常数列，
又

a1-a2

ana2

=

1

2

，∴

an-1-an

an-1an

=

1

2

（n≥2），即

1

an

-

1

an-1

=

1

2

，
∴数列{

1

an

}是以

1

a1

=

1

2

为首项，以

1

2

为公差的等差数列，
∴

1

an

=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

n

2

，∴an=

2

n

，∴a10=

2

10

=

1

5

故答案为：

1

5

点评：本题考查数列的概念、等差数列通项公式、转化构造变形能力、计算能力．