题目内容
定义在[0，1]上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（
）=
f（x），且当0≤x1＜x2≤1时f（x1）≤f（x2），则f（
）等于（ ）A．
B．
C．
D．
【答案】分析：可令x=1，由f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，求得f（1）=1，又f（
）=
f（x）⇒f（
）=
；反复利用f（
）=
f（x）⇒f（
）=
f（
）=
①；再令x=
，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（
）=
，同理反复利用f（
）=
f（x）⇒f（
）=
f（
）=
②；又0≤x1＜x2≤1时f（x1）≤f（x2），而
从而可求得f（
）的值．
解答：解：∵f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，令x=1得：f（1）=1，
又f（
）=
f（x），
∴当x=1时，f（
）=
f（1）=
；
令x=
，由f（
）=
f（x）得：
f（
）=
f（
）=
；
同理可求：f（
）=
f（
）=
；
f（
）=）=
f（
）=
；
f（
）=
f（
）=
①
再令x=
，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（
）=
，
∴f（
）+f（1-
）=1，解得f（
）=
，
令x=
，同理反复利用f（
）=
f（x），
可得f（
）=）=
f（
）=
；
f（
）=
f（
）=
；
…
f（
）=
f（
）=
②
由①②可得：，有f（
）=f（
）=
，
∵0≤x1＜x2≤1时f（x1）≤f（x2），而0＜
＜1
所以有f（
）≥f（
）=
，
f（
）≤f（
）=
；
故f（
）=
．
故选C．
点评：本题考查抽象函数及其应用，难点在于利用f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，两次赋值后都反复应用f（
）=
f（x），分别得到关系式①②，从而使问题解决，属于难题．
）=
f（x）⇒f（
）=
；反复利用f（
）=
f（x）⇒f（
）=
f（
）=
①；再令x=
，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（
）=
，同理反复利用f（
）=
f（x）⇒f（
）=
f（
）=
②；又0≤x1＜x2≤1时f（x1）≤f（x2），而
从而可求得f（
）的值．解答：解：∵f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，令x=1得：f（1）=1，
又f（
）=
f（x），∴当x=1时，f（
）=
f（1）=
；令x=
，由f（
）=
f（x）得：f（
）=
f（
）=
；同理可求：f（
）=
f（
）=
；f（
）=）=
f（
）=
；f（
）=
f（
）=
①再令x=
，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（
）=
，∴f（
）+f（1-
）=1，解得f（
）=
，令x=
，同理反复利用f（
）=
f（x），可得f（
）=）=
f（
）=
；f（
）=
f（
）=
；…
f（
）=
f（
）=
②由①②可得：，有f（
）=f（
）=
，∵0≤x1＜x2≤1时f（x1）≤f（x2），而0＜
＜1所以有f（
）≥f（
）=
，f（
）≤f（
）=
；故f（
）=
．故选C．
点评：本题考查抽象函数及其应用，难点在于利用f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，两次赋值后都反复应用f（
）=
f（x），分别得到关系式①②，从而使问题解决，属于难题． 
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