题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ ，一个顶点为A（0，2）
（1）若将椭圆C绕点P（1，2）旋转180°得到椭圆D，求椭圆D方程
（2）若椭圆C与直线y=kx+m （k≠0）相交于不同的M、N两点，且|AM|=|AN|，
求m的取值范围．

解：（1）由题意得，椭圆C的对称中心（0，0）关于点P（1，2）的对称点为（2，4），且对称轴平行于坐标轴，
长轴、短轴的长度不变，故将椭圆C绕点P（1，2）旋转180°得到椭圆D的方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1．
（2）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），∵|AM|=|AN|，∴A在线段MN的中垂线上．
把M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），代入椭圆C： $\text{[math]}$ 的方程得： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，①
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1 ②，用①减去②得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴k= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，再由中垂线的性质得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴y₁+y₂=-2，∴x₁+x₂=-3k（y₁+y₂）=-6k，
故MN的中点（-3k，-1），
把y=kx+m代入椭圆C： $\text{[math]}$ 得，（1+3k²）x²+6kmx+3m²-12=0，
∴x₁+x₂=-6k= $\text{[math]}$ ，∴m=1+3k²，∴mx²+6kmx+3m²-12=0，
由题意知，判别式大于0，即 36k²m²-4m（3m²-12）＞0，
36× $\text{[math]}$ ×m²-12m³+48m＞0，m（m-4）＜0，∴0＜m＜4，
故 m的取值范围为（0，4）．
分析：（1）椭圆C的对称中心（0，0）关于点P（1，2）的对称点为（2，4），且对称轴平行于坐标轴，长轴、短轴的长度不变．
（2）把M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），代入椭圆C相减，利用斜率公式及A在线段MN的中垂线上，求得y₁+y₂=-2，x₁+x₂=-6k，把y=kx+m代入椭圆C： $\text{[math]}$ 化为关于x的一元二次方程，再利用判别式大于0，求出m的取值范围．
点评：本题考查利用对称法求椭圆的标准方程，斜率公式、中点公式的应用，以及一元二次方程有两个根的条件．