Question

已知函数f（x）=acos²x-bsinxcosx-

3

2

，且f（0）=

3

2

，f（

π

4

）=-

1

2

．
（1）求a和b的值；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）函数f（x）的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为偶函数．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=

3

2

，f（

π

4

）=-

1

2

即可求得a和b的值；
（2）利用余弦函数的单调性即可求得f（x）=cos（2x+

π

6

）的单调递减区间；
（3）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得答案．

解答：解（1）由f（0）=

3

2

，得a-

3

2

=

3

2

，
∴a=

3

，
由f（

π

4

）=-

1

2

，得

3

2

-

b

2

-

3

2

=-

1

2

，
∴b=1，-------------------------------（4分）
（2）∴f（x）=

3

cos²x-sinxcosx-

3

2

=

3

2

cos2x-

1

2

sin2x=cos（2x+

π

6

）．--------（6分）
由2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+π，得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z-------------------（8分）
∴f（x）的单调递减区间是[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）．-----------------------（9分）
（3）∵f（x）=cos（2x+

π

6

）的图象向右移

π

12

即得到偶函数f（x）=cos（2x）的图象，
故函数f（x）的图象右移

π

12

后对应的函数成为偶函数-------------------------（12分）

点评：本题考查复合三角函数的单调性，突出考查余弦函数的单调性与y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查分析、运算能力，属于中档题．