Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 的离心率为，长轴长为4，过椭圆的左顶点作直线，分别交椭圆和圆于相异两点

(1) 若直线的斜率为1，求的值:

(2) 若，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）由题意得，求得椭圆方程为及圆的方程为，把直线的方程与椭圆的方程联立，求解，利用弦长公式求解，又因为过，且为圆上的点，所以，求得，即可得到结论.

(2) 由，即，可得，设，联立方程组，求得和，代入即可求解实数的取值范围.

详解：由题意得 ， ，则；

则椭圆的方程为 ，圆的方程为；

（1）直线的方程为，，得

解得，，

又因为过，且为圆上的点，所以，则；

所以

(2) 若 ，因为，所以；

因为,为相异两点，所以直线的斜率存在且不等于零；则设：，

由，得；所以；同理可得；

；因为，且，所以.