Question

已知数列{a_n}的首项a₁=b（b≠0），它的前n项的和S_n=a₁+a₂+…+a_n（n≥1），并且S₁，S₂，S_n，…是一个等比数列，其公比为p（p≠0且|p|＜1），
（1）证明：a₂，a₃，a₃，…a_n，…（即{a_n}从第二项起）是一个等比数列；
（2）设W_n=a₁S₁+a₂S₂+a₃S₃+…+a_nS_n（n≥1），求

lim

n→∞

Wn（用b，p表示）．

Answer 1

分析：（1）由题前n项的和S_n是一个等比数列，利用a_n与S_n的关系，求出a_n进而可证．
（2）先判断{a_nS_n}是什么数列，再求和进而求极限得解．

解答：解：（1）证明：由已知条件得S₁=a₁=b．
S_n=S₁p^n-1=bp^n-1（n≥1）
因为当n≥2时，S_n=a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=S_n-1+a_n，所以
a_n=S_n-S_n-1=bp^n-2（p-1）（n≥2）
从而

an+1

an

=

bpn-1(p-1)

bpn-2(p-1)

=p(n≥2)，
因此a₂，a₃，a₃，a_n，是一个公比为p的等比数列
（2）当n≥2时，

an+1Sn+1

anSn

=

bpn-1(p-1)bpn

bpn-2(p-1)bpn-1

=p2，
且由已知条件可知p²＜1，
因此数列a₁S₁，a₂S₂，a₃S₃，a_nS_n是公比为p²＜1的无穷等比数列，于是

lim

n→∞

(a2S2+a3S3+…+anSn)=

a2S2

1-p2

=

b2(p-1)p

1-p2

=-

b2p

1+p

．
从而

lim

n→∞

Wn=

lim

n→∞

(a1S1+a2S2+a3S3+…+anSn)
=

lim

n→∞

a1S1+

lim

n→∞

(a2S2+a3S3+…+anSn)
=b2-

b2p

1+p

=

b2

1+p

．

点评：（1）考查数列的证明，注意：从从第二项开始为等比．
（2）考查数列求和求极限，注意：1：数列{a_nS_n}从第二项开始为等比数列，求和时不要忘记第一项． 2：记住无穷递降等比数列前n项和极限公式即{a_n}等比-1＜q＜1且q≠0时

lim

n→∞

S_n=

a1

1-q

．