题目内容
如图,斜三棱柱ABC-A'B'C'中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,侧棱AA'与底面相邻两边AB,AC都成45°角.
(Ⅰ)求此斜三棱柱的表面积.
(Ⅱ)求三棱锥B'-ABC的体积.
（1）(
+1)ab+
a2；（2）
.
解析试题分析：（1）要求表面积，最难求的是面
的面积，要分析它的特征，如图，过A'作A'D⊥平面ABC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接A'E,A'F,AD.由题意可知∠A'AE=∠A'AF=45°,AA'=AA',于是Rt△A'AE≌Rt△A'AF.，因此A'E=A'F,从而可得DE=DF.故AD平分∠BAC,又∵AB=AC,∴BC⊥AD.故BC⊥AA'.∵AA'∥BB',∴BC⊥BB'.因此四边形BCC'B'是矩形,故斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin45°+ab=(+1)ab.又∵斜三棱柱的底面积为2×
a2=a2,∴斜三棱柱的表面积为(+1)ab+a2.（2）求B'-ABC的体积，要求出底面ABC的面积
，高
的求解根据
，
，
，
所以
.
试题解析：
（1）如图，过A'作A'D⊥平面ABC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接A'E,A'F,AD.
由题意可知∠A'AE=∠A'AF=45°,AA'=AA',于是Rt△A'AE≌Rt△A'AF.
因此A'E=A'F,从而可得DE=DF.故AD平分∠BAC,
又∵AB=AC,∴BC⊥AD.故BC⊥AA'.∵AA'∥BB',∴BC⊥BB'.因此四边形BCC'B'是矩形,故斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin45°+ab=(+1)ab.
又∵斜三棱柱的底面积为2×a2=a2,∴斜三棱柱的表面积为(+1)ab+a2.
（2）由（1），，，所以
.
考点：1.三棱锥体积和表面积的求解.
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目
中，底面
是菱形，
，
，
是
的中点，点
在侧棱
上．
；
//平面
；
，试求
的值．
中
，
，
，
、
分别是
、
上的点，
，
．沿
将梯形
翻折，使平面
⊥平面
(如图)．
是
时，求证：
⊥
；
变化时，求三棱锥
体积的最大值． 
中，侧面
底面ABC，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧面
，E、F分别是
、AB的中点．
；
的体积.
是
的中点.又已知侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.
,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3
到平面EA1C1的距离.
中，
，
，
。
；
，
，求三棱柱