Question

已知函数f（x）=2cos²x+2

3

sinx cosx+1．
（1）若x∈[0，π]时，f（x）=a有两异根，求两根之和；
（2）函数y=f（x），x∈[

π

6

，

7π

6

]的图象与直线y=4围成图形的面积是多少？

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，确定函数图象关于x=

3π

2

对称，即可求得结论；
（2）根据对称性可知，函数y=f（x），x∈[

π

6

，

7π

6

]的图象与直线y=4围成图形的面积等于一矩形的面积，长为2π，宽为4，由此可得结论．

解答：解：（1）函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+1=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）
∵x∈[0，π]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

13

6

π]，
∴函数图象关于x=

3π

2

对称
∵f（x）=a有两异根，∴两根之和为3π；
（2）∵x∈[

π

6

，

7π

6

]，∴2x+

π

6

∈[

π

2

，

5π

2

]
∴根据对称性可知，函数y=f（x），x∈[

π

6

，

7π

6

]的图象与直线y=4围成图形的面积等于一矩形的面积，长为2π，宽为4
∴所求面积为8π．

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查面积的计算，正确化简函数是关键．