Question

11．已知点P（0，5）及圆C：x²+y²+4x-12y+24=0
（1）写出圆C的圆心坐标及半径；
（2）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4$\sqrt{3}$，求l的方程；
（3）过点P的圆C的弦的中点D的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）整理出圆C的标准方程，确定圆的圆心与半径；
（2）分类讨论，利用直线ι被圆C截得的线段长为4$\sqrt{3}$，可得直线ι与圆心的距离为2，由此可得结论；
（3）设过P点的圆c的弦的中点D的坐标为（x，y），利用CD⊥PD，可得方程．

解答 解：（1）整理圆的方程得（x+2）²+（y-6）²=16，
圆心（-2，6），半径r=4；（3分）
（2）由圆C：x²+y²+4x-12y+24=0得圆心坐标为（-2，6），半径为4
又∵直线ι被圆C截得的线段长为4$\sqrt{3}$，∴直线ι与圆心的距离为2，
当直线斜率存在时，设L的斜率是k，过P（0，5），设直线ι：y=kx+5，即kx-y+5=0；
∵直线ι与圆C的圆心相距为2，∴d=$\frac{||-2k-6+5|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=$\frac{3}{4}$，此时直线的方程为3x-4y+20=0；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0，也符合题意．
故所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0．（8分）
（3）设过P点的圆c的弦的中点D的坐标为（x，y），则
∵CD⊥PD，∴（x+2）•x+（y-6）•（y-5）=0
化简得所求轨迹方程为x²+y²+2x-11y+30=0．（14分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．