Question

如图，已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面边长是2，D是侧棱CC₁的中点，直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为45°．

求(Ⅰ)求此正三棱柱的侧棱长；

(Ⅱ)求二面角A－BD－C的大小；

(Ⅲ)求点C到平面ABD的距离．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)设正三棱柱－的侧棱长为．取中点，连． 　　是正三角形，∴． 　　又底面侧面，且交线为． 　　∴侧面． 　　连，则直线与侧面所成的角为．　　2分 　　在中，，解得．　　3分 　　∴此正三棱柱的侧棱长为．　　4分 　　(Ⅱ)过作于，连， 　　侧面∴． 　　∴为二面角的平面角．　　6分 　　在中，，又 　　，∴． 　　又 　　∴在中，． 　　故二面角的大小为．　　8分 　　(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，平面，∴平面平面，且交线为， 　　∴过作于，则平面．　　9分 　　在中，．　　11分 　　为中点，∴点到平面的距离为．　　12分