Question

已知矩形ABCD，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D’EC的位置，使二面角D'-EC-B是直二面角．
（1）证明：BE⊥CD’；
（2）求二面角D'-BC-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）一般是通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明其中一条直线与另一条直线所在的平面垂直．
（2）利用向量法求二面角的平面角，建立空间直角坐标系利用向量的一个运算求出两个平面的法向量，进而求出二面角的余弦值．

解答：解：（1）证明：∵AD=2AB=2，E是AD的中点，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，
又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC
∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．               
（2）如图，以EB，EC为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系．
则B(

2

，0，0)，C(0，

2

，0)，D′(0，

2

2

，

2

2

)
设平面BEC的法向量为

.

n1

=(0，0，1)；平面D'BC的法向量为

n

=(x2，y2，z2)

BC

=(-

2

，

2

，0)，

D′C

=(0，

2

2

，-

2

2

)，

n2 • BC =0 n2 • D′C =0

代入整理可得：

- 2 x2+ 2 y2=0 2 2 y2- 2 2 z2=0

不妨取x₂=l
得

n2

=(1，1，1)，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

3

3

∴二面角D'-BC-E的余弦值为

3

3

．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便于正确利用线面垂直与线面平行关系，并且利于建立坐标系利用向量法解决空间角与空间建立问题．