Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S₃=6，正项数列{b_n}满足b₁•b₂•b₃…b_n=2 Sn．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若λb_n＞a_n对n∈N^*均成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a_n，S_n．再利用递推式可得b_n．
（2）λb_n＞a_n，化为λ＞

n

2n

．考察数列{

n

2n

}的单调性即可得出．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁=1，S₃=6，∴3a1+

3×2

2

d=6，化为1+d=2，解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）×1=n，Sn=

n(n+1)

2

．
∴S_n-1=

n(n-1)

2

（n≥2）．
∵正项数列{b_n}满足b₁•b₂•b₃…b_n=2 Sn．
∴当n≥2时，正项数列{b_n}满足b₁•b₂•b₃…b_n-1=2Sn-1．
∴b_n=2Sn-Sn-1=2ⁿ．
当n=1时，b1=2S1=2，也满足上式．
∴bn=2n．
综上可得：a_n=n，bn=2n．
（2）λb_n＞a_n，化为λ＞

n

2n

．
令cn=

n

2n

，
∵

cn+1

cn

=

n+1 2n+1

n 2n

=

n+1

2n

≤1，
∴c_n+1≤c_n，当且仅当n=1时取等号．
∴数列{

n

2n

}的单调递减，
∵λb_n＞a_n对n∈N^*均成立，
∴λ＞

1

2

．
∴实数λ的取值范围是λ＞

1

2

．

点评：本题考查了等差数列通项公式与前n项和公式、递推式的应用、数列的单调性、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．