Question

（2011•朝阳区二模）已知数列{a_n}满足a₁=2，且a_n+1a_n+a_n+1-2a_n=0，n∈N^*，则a₂=

4

3

；并归纳出数列{a_n}的通项公式a_n=

2n

2n-1

．

Answer 1

分析：将n=1，代入已知等式，结合a₁=2可以得到a₂的值．再用n=2、3、4、5，求出数列的前面几项，发现各项都是一个分数，它的分子比分母大1，且分子成等比数列的特征，由此可以推出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：当n=1时，a₁a₂+a₂-2a₁=0，结合a₁=2，得
2a₂+a₂-2×2=0⇒a₂=

4

3

再取n=2、3、4、5，用同样的方法可以算出：
a₃=

8

7

，a₄=

16

15

，a₅=

32

31

所以猜想：an=

2n

2 n-1

接下来证明此结论：
∵a_n+1a_n+a_n+1-2a_n=0
∴

2

an+1

-

1

an

= 1⇒2(

1

an+1

-1)=

1

an

-1
∴数列

1

an

-1构成以

1

a1

-1=-

1

2

为首项，公比为

1

2

的等比数列
∴

1

an

-1= -

1

2

×(

1

2

)  n-1=

-1

2 n

所以

1

a n

=1-

1

2n

=

2n-1

2n

，可得a_n=

2n

2n-1

点评：本题以一个数列模型为载体，考查了数列的递推关系、归纳推理和等比数列的通项等知识点，属于中档题．