Question

数列{a_n}是首项为1000，公比为

1

10

的等比数列，数列{b_n}满足bk=

1

k

(lga1+lga2+…+lgak)（k∈N^*），
（1）求数列{b_n}的前n项和的最大值；
（2）求数列{|b_n|}的前n项和S_n′．

Answer 1

分析：（1）首先写出数列{a_n}的通项公式得到数列{lga_n}是首项为3，公差为-1的等差数列，即得到数列{b_n}的通项公式假设第n为正，第n+1项为负解出n的值即可求出和的最大值；
（2）由（1）知当n≤7时，b_n≥0，当n＞7时，b_n＜0，分两种情况利用等差数列求和公式求出s_n′即可．

解答：解：（1）由题意：a_n=10^4-n，∴lga_n=4-n，
∴数列{lga_n}是首项为3，公差为-1的等差数列，
∴lga1+lga2++lgak=3k-

k(k-1)

2

，
∴bn=

1

n

[3n-

n(n-1)

2

]=

7-n

2

由

bn≥0 bn+1≤0

，得6≤n≤7，
∴数列{b_n}的前n项和的最大值为S6=S7=

21

2

（2）由（1）当n≤7时，b_n≥0，当n＞7时，b_n＜0，
∴当n≤7时，Sn′=b1+b2++bn=(

3+ 7-n 2

2

)n=-

1

4

n2+

13

4

n
当n＞7时，S_n^′=b₁+b₂++b₇-b₈-b₉--b_n
=2S7-(b1+b2++bn)=

1

4

n2-

13

4

n+21
∴S_n′=

- 1 4 n2+ 13 4 n       (n≤7) 1 4 n2- 13 4 n+21   (n＞7)

．

点评：考查学生灵活运用数列求和的公式，以及等差数列性质的运用能力．