Question

15．设平面直角坐标系原点与极坐标极点重合，x轴正半轴与极轴重合，若已知曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，点F₁、F₂为其左、右焦点，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数，t∈R）．
（Ⅰ）求曲线C的标准方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若点P为曲线C上的动点，求点P到直线l的最大距离．

Answer 1

分析 （I）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；消去参数即可得到直线l的普通方程．
（II）设P$（2cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，θ∈[0，2π），
则点P到直线l的距离d=$\frac{|2cosθ-\sqrt{3}sinθ-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{7}sin（θ+α）+1|}{\sqrt{2}}$，再利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，化为直角坐标方程：3x²+4y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数，t∈R），化为普通方程：x-1-y=0．
（II）设P$（2cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，θ∈[0，2π），
则点P到直线l的距离d=$\frac{|2cosθ-\sqrt{3}sinθ-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{7}sin（θ+α）+1|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$，其中α=arctan$\frac{2}{\sqrt{3}}$．
∴点P到直线l的最大距离是$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．．