Question

“笑脸曲线”由曲线C₁和C₂构成，如图，C₁是以O为顶点、F为焦点的抛物线的一部分，曲线C₂是以O为焦点、Q为顶点的抛物线的一部分，A（4

2

，2）是曲线C₁和C₂的交点，
（1）求曲线C₁和C₂所在的抛物线方程；
（2）在C₂上是否存在点P，AP交x轴于M，使△OAM为等腰三角形？如果存在，求出P点坐标，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设抛物线C₁：x²=2py，C₂：x²=4q（y+q），p＞0，q＞0，由A（4

2

，2）是曲线C₁和C₂的交点，能求出抛物线C₁方程为x²=16y，抛物线C₂方程x²=8（y+2）．
（2）假设存在点P满足条件，使△OAM为等腰三角形，第一种可能是OA为等腰三角形的底，于是AM倾斜角是OA倾斜角的二倍；第二种可能是OM为等腰三角形的底，此时，直线OA与直线MA斜率互为相反数；第三种可能是AM为等腰三角形的底，此时，直线AM3的倾斜角是直线OA倾斜角的一半．由此进行分类讨论，能求出P点坐标．

解答：解：（1）设抛物线C₁：x²=2py，C₂：x²=4q（y+q），p＞0，q＞0，
∵A（4

2

，2）是曲线C₁和C₂的交点，
把A（4

2

，2）分别代入抛物线C₁：x²=2py，C₂：x²=4q（y+q），p＞0，q＞0，
得32=4p，解得p=8；
32=4q（2+q），解得q=2．
所以抛物线C₁方程为x²=16y，
抛物线C₂方程x²=8（y+2）．
（2）假设存在点P满足条件，使△OAM为等腰三角形，
第一种可能是OA为等腰三角形的底，
于是AM倾斜角是OA倾斜角的二倍，
∵k_OA=

2

4

，k_AP=

2 2 4

1- 1 8

=

4 2

7

直线AP的方程为y-2=

4 2

7

（x-4

2

），
与x²=8（y+2）联立，消去y得：
7x²-32

2

x+32=0，解得x=4

2

（A点横坐标），x=

4 2

7

，y=-

94

49

，
故存在点P₁（

4 2

7

，-

94

49

），使△OAM为等腰三角形．
第二种可能是OM为等腰三角形的底，
此时，直线OA与直线MA斜率互为相反数，
M（8

2

，0），直线AM的方程为y=-

2

4

（x-8

2

），
与抛物线C₂方程x²=8（y+2）．联立，消去y得：
x²=8（y+2）=8[-

2

4

（x-8

2

）+2]，
整理得x²+2

2

x-48=0，x=-6

2

，y=7．
所以存在P₂（-6

2

，7），使△OAM为等腰三角形；
第三种可能是AM为等腰三角形的底，
此时，直线AM3的倾斜角是直线OA倾斜角的一半，
于是

2

4

=

2tanAM3O

1-tan2AM3O

，
解得tan∠AM3O=3-2

2

，
故直线AM3的方程为y-2=（3-2

2

）（x-4

2

），
与方程x²=8（y+2）联立，消去y得：
x²-（24-16

2

）x-160+96

2

=0，x+4

2

=24-16

2

故存在点P₃（24-20

2

，170-120

2

），使△OAM为等腰三角形．

点评：本题考查抛物线方程的求法和判断P点坐标是否存在，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的灵活运用．