Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1a_n-1=a_na _n-1+a_n²（n∈N，n≥2），且

an+1

an

=kn+1．
（1）求证：k=1；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{

anxn-1

(n-1)!

}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）由

an+1

an

=kn+1，a₁=1可得

a2

a1

=a2=k+1，再由a₁=1，a_n+1a_n-1=a_na _n-1+a_n²（n≥2）可得

a3

a2

=a2+1，可证k=1
（2）由

an+1

an

=n+1可得a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

•a1，可求
（3）设

anxn-1

(n-1)!

=nxn-1的前n项和为 S_n，分类讨论：x=1时，利用等差数列的求和公式可求；当x≠1时，由Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1可以利用错位相减求和即可

解答：证明：（1）∵

an+1

an

=kn+1，a₁=1
故

a2

a1

=a2=k+1
又因为a₁=1，a_n+1a_n-1=a_na _n-1+a_n²（n≥2）
则a3a1=a1a2+a22，即

a3

a2

=a2+1
∵

a3

a2

=2k+1
∴a₂=2k
∴k+1=2k
∴k=1．…．（3分）
（2）∵

an+1

an

=n+1
∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

•a1=n（n-1）（n-2）…2•1=n!…．（6分）
（3）因为

anxn-1

(n-1)!

=nxn-1，设其前n项和为 S_n，
当x=1时，Sn=

n(n+1)

2

，…（8分）
当x≠1时，Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1…（1）
xSn=x+2x2+3x3+…+(n-1)xn-1+nxn…（2）
由（1）-（2）得：(1-x)Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn=

1-xn

1-x

-nxn
∴Sn=

1-xn

(1-x)2

-

nxn

1-x

…..（11分）
综上所述：Sn=

n(n+1) 2 ，x=1 1-xn (1-x)2 - nxn 1-x ，x≠1

…．（12分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项的关系，叠乘法在数列的 通项公式求解中的应用及错位相减求和方法的应用