Question

【题目】已知函数的图象过点.

(1)求的值并求函数的值域；

(2)若关于的方程有实根，求实数的取值范围；

(3)若函数，则是否存在实数，使得函数的最大值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）；（3）存在使得函数的最大值为0.

【解析】试题分析：（1）根据在图象上，代入计算即可求解，因为，所以，所以，可得函数的值域为；（2）原方程等价于的图象与直线有交点，先证明的单调性，可得到的值域，从而可得实数的取值范围；（3）根据， ，转化为二次函数最大值问题，讨论函数的最大值，求解实数即可.

试题解析：（1）因为函数 的图象过点，

所以，即，所以 ，

所以，因为，所以，所以，

所以函数的值域为.

（2）因为关于的方程有实根，即方程有实根，

即函数与函数有交点，

令，则函数的图象与直线有交点，

又

任取，则，所以，所以，

所以 ，

所以在R上是减函数（或由复合函数判断为单调递减），

因为，所以，

所以实数的取值范围是.

（3）由题意知， ，

令，则，

当时， ，所以，

当时， ，所以（舍去），

综上，存在使得函数的最大值为0.