Question

已知f（n）=1+

1

23

+

1

33

+

1

43

+…+

1

n3

，g（n）=

3

2

-

1

2n2

，n∈N^*．
（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；
（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．．

Answer 1

分析：（1）根据已知f(n)=1+

1

23

+

1

33

+

1

43

…+

1

n3

，g(n)=

3

2

-

1

2n2

，n∈N^*．我们易得当n=1，2，3时，两个函数函数值的大小，比较后，根据结论我们可以归纳推理得到猜想f（n）≤g（n）；
（2）但归纳推理的结论不一定正确，我们可用数学归纳法进行证明，先证明不等式f（n）≤g（n）当n=1时成立，再假设不等式f（n）≤g（n）当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式f（n）≤g（n）也成立，最后得到不等式f（n）≤g（n）对于所有的正整数n成立；

解答：解：（1）当n=1时，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；
当n=2时，f(2)=

9

8

，g(2)=

11

8

，
所以f（2）＜g（2）；
当n=3时，f(3)=

251

216

，g(3)=

312

216

，
所以f（3）＜g（3）．
（2）由（1），猜想f（n）≤g（n），下面用数学归纳法给出证明：
①当n=1，2，3时，不等式显然成立．
②假设当n=k（k≥3）时不等式成立，
即1+

1

23

+

1

33

+

1

43

+

1

k3

＜

3

2

-

1

2k2

，
那么，当n=k+1时，f(k+1)=f(k)+

1

(k+1)3

＜

3

2

-

1

2k2

+

1

(k+1)3

，
因为

1

2(k+1)2

-(

1

2k2

-

1

(k+1)3

)=

k+3

2(k+1)3

-

1

2k2

=

-3k-1

2(k+1)3k2

＜0，
所以f(k+1)＜

3

2

-

1

2(k+1)2

=g(k+1)．
由①、②可知，对一切n∈N^*，都有f（n）≤g（n）成立．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．