Question

【题目】已知函数，，其中是自然对数的底数.

（Ⅰ）判断函数在内零点的个数，并说明理由；

（Ⅱ），，使得不等式成立，试求实数的取值范围；

（Ⅲ）若，求证：.

Answer 1

【答案】（1）1（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求函数的导数 ，判断导数的正负，得到函数的单调性，再根据零点存在性定理得到零点的个数；（Ⅱ）不等式等价于，根据导数分别求两个函数的最小值和最大值，建立不等式求的取值范围；（Ⅲ）利用分析法逐步找到使命题成立的充分条件，即，证明，求的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）函数在上的零点的个数为1，，

理由如下：因为，所以.

因为，所以.

所以函数在上是单调递增函数.

因为，，

根据函数零点存在性定理得

函数在上的零点的个数为1.

（Ⅱ）因为不等式等价于，

所以，，使得不等式成立，等价于，

当时，，故在区间上单调递增，所以时，取得最小值-1，

又，由于，，，

所以，故在区间上单调递增.

因此，时，取得最大值.

所以，所以，

所以实数的取值范围是.

（Ⅲ）当时，要证，只要证，

只要证，

只要证，

由于，只要证.

下面证明时，不等式成立.

令，则，

当时，，是单调递减；

当时，，是单调递增.

所以当且仅当时，取得极小值也就是最小值为1.

令，其可看作点与点连线的斜率，

所以直线的方程为：，

由于点在圆上，所以直线与圆相交或相切，

当直线与圆相切且切点在第二象限时，

当直线取得斜率的最大值为1.

故时，；时，.

综上所述，当时，成立.