Question

设椭圆C：的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF₂．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；                     

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，求的取值范围．

Answer 1

 

考点：	圆与圆锥曲线的综合；直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质．
专题：	综合题．
分析：	（Ⅰ）由题意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b），由知F1为BF2的中点，由AB⊥AF2，知Rt△ABF2中，BF22=AB2+AF22，由此能求出椭圆的离心率． （Ⅱ）由，知，，，Rt△ABF2的外接圆圆心为（﹣，0），半径r=a，所以，由此能求出椭圆方程． （Ⅲ）由F2（1，0），l：y=k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此能求出m的取值范围．
解答：	解：（Ⅰ）由题意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b） ∵知F1为BF2的中点， AB⊥AF2 ∴Rt△ABF2中，BF22=AB2+AF22， 又a2=b2+c2 ∴a=2c 故椭圆的离心率…（3分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知得， 于是，， Rt△ABF2的外接圆圆心为（﹣，0），半径r=a， 所以，解得a=2， ∴c=1，， 所求椭圆方程为…（6分） （Ⅲ）由（Ⅱ）知F2（1，0），l：y=k（x﹣1）， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 由，代入得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0 则， y1+y2=k（x1+x2﹣2）…（8分） 由于菱形对角线垂直， 则 故x1+x2﹣2m+k（y1+y2）=0 即x1+x2﹣2m+k2（x1+x2﹣2）=0， …（10分） 由已知条件知k≠0， ∴ ∴故m的取值范围是．…（12分）
点评：	本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．