Question

如图，∠BAC=90°，直线l与以AB为直径的圆相切于点B，点E是圆上异于A、B的任意一点，直线AE与l相交于D点．
（1）如果AD=10，AB=8，求DE的长；
（2）连接CE，过点E作CE的垂线交线段AB于点F，求证：．

Answer 1

（1）解：∵BD是切线，AD=10，AB=8
∴BD=6，
∵DB²=DE•DA
∴DE==3.6；
（2）证明：连接BE，∵AB为圆的直径，∴∠AEB=90°
∴∠CEA=∠FEB
∵A，C，E，F四点共圆
∴∠C=∠EFB
∴△CEA∽△FEB
∴
∵△ABE∽△ABD
∴
∴
分析：（1）由于DB是圆的切线，因此根据切割线定理得出的DB²=DE•DA即可求出DE的长；
（2）连接BE，证明△CEA∽△FEB，ABE∽△ABD，即可得到结论．
点评：本题主要考查了切线的性质、切割线定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识点，属于中档题．