Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-alnx+a，a∈R，g（x）=$\frac{1}{3}$x³-bx²+c在点（3，g（3））处的切线方程为y=-3x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）f（x）-g（x）≥0在[1，十∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导函数f'（x）=x²-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{3}-a}{x}$，（x＞0），要判断导函数正负，需对a进行分类讨论；
（2）利用导函数的意义可得g'（3）=-3，g（3）=-9，进而求出b，c值，不等式可整理为2x²-alnx+a≥0在[1，十∞）上恒成立，构造函数令F（x）=2x²-alnx+a，要使函数F（x）有最小值，需单调递增，且最小值F（1）≥0．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-alnx+a，
∴f'（x）=x²-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{3}-a}{x}$，（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数；
当a＞0时
x在（$\root{3}{a}$，+∞）上f′（x）＞0，f（x）递增；
x在（0，$\root{3}{a}$）上f′（x）＜0，f（x）递减；
综上：当a≤0时，f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；
当a＞0时，f（x）的增区间为（$\root{3}{a}$，+∞），减区间为（0，$\root{3}{a}$）；
（2）g（x）=$\frac{1}{3}$x³-bx²+c在点（3，g（3））处的切线方程为y=-3x．
∴g'（3）=-3，g（3）=-9，
∴b=2，c=0，
∴g（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²
∵f（x）-g（x）≥0在[1，十∞）上恒成立，
∴2x²-alnx+a≥0在[1，十∞）上恒成立，
令F（x）=2x²-alnx+a，
∴F'（x）=4x-$\frac{a}{x}$=$\frac{4{x}^{2}-a}{x}$，
∴4-a＞0，F（1）≥0，
∴-2≤a＜4．

点评 考查了导函数的应用和恒成立问题的综合．