题目内容
已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a＜-1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|，求a的取值范围．
分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．
（2）根据第一问的单调性先对|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|进行化简整理，转化成研究g（x）=f（x）+4x在（0，+∞）单调减函数，再利用参数分离法求出a的范围．
（2）根据第一问的单调性先对|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|进行化简整理，转化成研究g（x）=f（x）+4x在（0，+∞）单调减函数，再利用参数分离法求出a的范围．
解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）.f′(x)=
+2ax=
．
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；
当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=
．
则当x∈(0，
)时，f'（x）＞0；x∈(
，+∞)时，f'（x）＜0．
故f（x）在(0，
)单调增加，在(
，+∞)单调减少．
（Ⅱ）不妨假设x1≥x2，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，
从而?x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|
等价于?x1，x2∈（0，+∞），f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1①
令g（x）=f（x）+4x，则g′(x)=
+2ax+4
①等价于g（x）在（0，+∞）单调减少，即
+2ax+4≤0．
从而a≤
=
=
-2
故a的取值范围为（-∞，-2]．（12分）
| a+1 |
| x |
| 2ax2+a+1 |
| x |
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；
当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=
-
|
则当x∈(0，
-
|
-
|
故f（x）在(0，
-
|
-
|
（Ⅱ）不妨假设x1≥x2，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，
从而?x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|
等价于?x1，x2∈（0，+∞），f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1①
令g（x）=f（x）+4x，则g′(x)=
| a+1 |
| x |
①等价于g（x）在（0，+∞）单调减少，即
| a+1 |
| x |
从而a≤
| -4x-1 |
| 2x2+1 |
| (2x-1)2-4x2-2 |
| 2x2+1 |
| (2x-1)2 |
| 2x2+1 |
故a的取值范围为（-∞，-2]．（12分）
点评：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．
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}的前n项和为Sn，则S2010的值为（ ）
| 1 |
| f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|