Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=a-1（a≠0且a≠1），其前n项和为S_n，且当n≥2时，S²_n=S_n-1S_n+1。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a=4，令，记数列{b_n}的前n项和为T_n，设λ是整数，问是否存在正整数n，使等式成立？若存在，求出n和相应的λ 值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵n≥2时，

∴
又S₁=1≠0，S₂=a₁+a₂=a≠0，
∴{S_n}是首项为1，公比q=a的等比数列
∴
当n≥2时，
又a₁=S₁=1
∴。
（2）当a=4，n≥2时

此时



}
又
∴
故
当n≥2时，T_n=b₁+b₂+…+b_n

=

若n=1，则等式不是整数，不符合题意；
若n≥2，则等式为

 ∵λ是整数，
∴必是5的因数
∵n≥2时， ∴≥5
当且仅当n=2时，是整数，从而λ=4是整数，符合题意
综上可知，当且仅当λ=4时，存在正整数n=2，使等式成立。