Question

设x、y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

Answer 1

思路分析：本题要分充分性和必要性两种情况证明，一方面有xy≥0|x+y|=|x|+|y|；另一方面有|x+y|=|x|+|y|xy≥0.

证明：充分性:如果xy=0,那么,①x=0,y≠0；②x≠0,y=0；③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.

如果xy＞0,那么x＞0,y＞0或x＜0,y＜0.当x＞0,y＞0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|；

当x＜0,y＜0时,|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.

总之,当xy≥0时,有|x+y|=|x|+|y|.

必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R,得(x+y)²=(|x|+|y|)²,即x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y²,|xy|=xy.

∴xy≥0.

     充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件,哪是结论,然后搞清楚充分性是证明哪一个命题,必要性是证明哪一个命题.