Question

设x、y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

Answer 1

证明:充分性:若xy=0,那么,①x=0,y≠0;②x≠0,y=0;③x=0,y=0,于是|x+y|=|x|+|y|.如果xy＞0,即x＞0,y＞0或x＜0,y＜0;

当x＞0,y＞0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|;

当x＜0,y＜0时,|x+y|=-(x+y)=-x+?(-y)=|x|+|y|.

总之,当xy≥0时,有|x+y|=|x|+|y|.

必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R,得

(x+y)²=(|x|+|y|)²,即x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y².

|xy|=xy.∴xy≥0.

启示:充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件,哪是结论,然后搞清楚充分性是证明哪一个命题,必要性是证明哪一个命题.