Question

过点Q（2，4）引直线与圆x²+y²=1交于R，S两点，那么弦RS的中点P的轨迹为（　　）

A．圆（x+1）²+（y+2）²=5

B．圆x²+y²+2x+4y=0的一段弧

C．圆x²+y²-2x-4y=0的一段弧

D．圆（x-1）²+（y-2）²=5

Answer 1

分析：判断Q与圆的位置关系，画出图象，转化为圆的方程的一部分得到选项．

解答：解：因为点Q（2，4）在圆x²+y²=1的外部，如图：
所以过点Q（2，4）引直线与圆x²+y²=1交于R，S两点，
斜率存在，是一段区间，因为弦RS的中点P，所以OP⊥RS，
即△OPQ是直角三角形，OQ是定值，OQ=

22+42

=

20

，
OQ的中点为（1，2），圆的半径为：

20

2

．
所以所求的轨迹方程为：（x-1）²+（y-2）²=(

20

2

)2=5，
即x²+y²-2x-4y=0．因为斜率存在，是一段区间，
所求轨迹是圆的一部分．
故选C．

点评：本题考查曲线轨迹方程的求法，考查转化思想计算能力，注意图象的应用．