题目内容

如果函数f(x)=(x+a)3对任意x∈R都有f(1+x)=-f(1-x)，试求f(2)+f(-2)的值.

解:∵对任意x∈R，总有f(1+x)=-f(1-x)，

    ∴当x=0时应有f(1+0)=-f(1-0),?即f(1)=-f(1).∴f(1)=0.

    又∵f(x)=(x+a)3,∴f(1)=(1+a)3.

    故有(1+a)3=0a=-1.

    ∴f(x)=(x-1)3.

    ∴f(2)+f(-2)=(2-1)3+(-2-1)3=13+(-3)3=-26.


练习册系列答案
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如果函数f(x)=
1
3
x3-a2x满足：对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤1恒成立，则a的取值范围是（　　）
A、[-
2
3
3
，
2
3
3
]
B、(-
2
3
3
，
2
3
3
)
C、[-
2
3
3
，0)∪(0，
2
3
3
]
D、(-
2
3
3
，0)∪(0，
2
3
3
)
对任意实数a，b，定义：F(a，b)=
1
2
(a+b-|a-b|)，如果函数f(x)=x2，g(x)=
5
2
x+
3
2
，h（x）=-x+2，那么函数G（x）=F（F（f（x），g（x）），h（x））的最大值等于
 
．
已知函数f（x）=a•lnx+b•x2在点（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若f（x）满足f（x）≥g（x）恒成立，则称f（x）是g（x）的一个“上界函数”，如果函数f(x)为g(x)=
t
x
-lnx（t为实数）的一个“上界函数”，求t的取值范围；
（3）当m＞0时，讨论F(x)=f(x)+
x2
2
-
m2+1
m
x在区间（0，2）上极值点的个数．
（2013•内江一模）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f(x)=
x2+a
bx-c
有且仅有两个不动点0、2．
（1）求b，c满足的关系式；
（2）若c=2时，相邻两项和不为零的数列{an}满足4Snf(
1
an
)=1（Sn是数列{an}的前n项和），求证：-
1
an+1
＜ln
n+1
n
＜-
1
an
．
如果函数f(x)=
x2+a
bx-c
（b，c∈N*），满足f（0）=0，f（2）=2，且f（-2）＜-
1
2
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）是否存在各项均不为零的数列{an}满足4Sn•f(
1
an
)=1，（Sn为该数列的前n项的和），如果存在，写出数列的一个通项公式an，并说明满足条件的数列{an}是否唯一确定；如果不存在，请说明理由．

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