Question

【题目】设函数f（x）= （a∈R）
（1）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= = ，

∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．

当a=0时，f（x）= ，f′（x）= ，

∴f（1）= ，f′（1）= ，

∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，化为：3x﹣ey=0；

（2）解法一：由（1）可得：f′（x）= ，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，

由g（x）=0，解得x1= ，x2= ．

当x＜x1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；

当x1＜x＜x2时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；

当x＞x2时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数．

由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2= ≤3，解得a≥﹣ ．

因此a的取值范围为： ．

解法二：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，

可得a≥ ，在[3，+∞）上恒成立．

令u（x）= ，u′（x）= ＜0，

∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，

∴a≥u（3）=﹣ ．

因此a的取值范围为：

【解析】（1）f′（x）= ，由f（x）在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，解得a．可得f（1），f′（1），即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）解法一：由（1）可得：f′（x）= ，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1= ，x2= ．对x分类讨论：当x＜x1时；当x1＜x＜x2时；当x＞x2时．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2= ≤3，解得即可．解法二：“分离参数法”：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可得f′（x）≤0，可得a≥ ，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）= ，利用导数研究其最大值即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．