题目内容
已知向量
=(cos
，sin
)，
=(cos
，-sin
)，且x∈[0，
]
（1）求|
+
|并判断x为何值时
⊥
；
（2）若f(x)=
•
-2λ|
+
|的最小值是-
，求λ的值．
| a |
| 3x |
| 2 |
| 3x |
| 2 |
| b |
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| π |
| 2 |
（1）求|
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）若f(x)=
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| 2 |
分析：（1）先求出
+
的坐标，从而求出|
+
|的值，从而求得|
+
|=2cosx．再由
•
=cos2x，求出
⊥
时x的值．
（2）化简函数f（x）的解析式为2（cosx-λ）2-1-2λ2，分λ＜0、0≤λ≤1、λ＞1三种情况，根据函数的最小值等于-
分必然求出λ的值．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）化简函数f（x）的解析式为2（cosx-λ）2-1-2λ2，分λ＜0、0≤λ≤1、λ＞1三种情况，根据函数的最小值等于-
| 3 |
| 2 |
解答：解：（1）∵
+
=（ cos
+cos
，sin
-sin
），故 |
+
|2=2+2cos2x=4cos2x．
因为x∈[0，
]，所以|
+
|=2cosx． 再由
•
=cos2x，
若
⊥
，则
•
=0，所以x=
时，
⊥
．
（2）∵f(x)=
•
-2λ|
+
|=2（cosx-λ）2-1-2λ2，
因为x∈[0，
]，所以cosx∈[0，1]．
讨论：若λ＜0时，f（x）min=-1，矛盾．
若0≤λ≤1时，f(x)min=-1-2λ2=-
，解得λ=
．
若λ＞1时，f（x）min=1-4λ=-
，解得λ=
，矛盾．
综合可得 λ=
．
| a |
| b |
| 3x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| 3x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| a |
| b |
因为x∈[0，
| π |
| 2 |
| a |
| b |
| a |
| b |
若
| a |
| b |
| a |
| b |
| π |
| 4 |
| a |
| b |
（2）∵f(x)=
| a |
| b |
| a |
| b |
因为x∈[0，
| π |
| 2 |
讨论：若λ＜0时，f（x）min=-1，矛盾．
若0≤λ≤1时，f(x)min=-1-2λ2=-
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
若λ＞1时，f（x）min=1-4λ=-
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 8 |
综合可得 λ=
| 1 |
| 2 |
点评：本题主要考查两个向量数量积公式的应用，余弦函数的定义域和值域，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
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