Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx-1的导函数为f′（x），且不等式f′（x）≥0的解集为{x|-2≤x≤1}．
（I）若函数f（x）的极大值为0，求实数a的值；
（II）当x满足不等式f′（x）+6a（x+1）≥0时，关于x的方程f（x）-ma+1=0有唯一实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由不等式f′（x）≥0的解集为{x|-2≤x≤1}，可知f′（x）=0的两根为-2、1，根据韦达定理求出b、c与a的数量关系；利用导数求出f（x）极大值在x为多少的时取得，再用极大值为0可求出a．
（II）首先把f′（x）解析式代入f′（x）+6a（x+1）≥0，分离m，利用导数求出另一边对应函数的最值，再利用两边对应函数的图象的交点个数确定m的取值范围．

解答：解：（I）∵f′（x）=3ax²+2bx+c，f′（x）≥0的解集为{x|-2≤x≤1}，
∴a＜0，且方程f′（x）=3ax²+2bx+c的两根为-2，1．
∴

- 2b 3a =-1 c 3a =-2

，即

b= 3 2 a c=-6a

，
f（x）=ax³+

3

2

ax²-6ax-1
∴f′（x）=3ax²+3ax-6a=3a（x²+x-2）=3a（x+2）（x-1），
令f′（x）＞0得-2＜x＜1，令f′（x）＜0得x＜-2，或x＞1，
∴f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上是减函数，在（-2，1）上是增函数，
∴函数f（x）在x=-2有极小值，在x=1有极大值，
∵函数f（x）的极大值为0，∴f（1）=0，
∴a+

3

2

a-6a-1=0，∴a=

7

2

；
（II）∵f′（x）+6a（x+1）≥0，∴3ax（x+3）≥0，
∵a＜0，∴-3≤x≤0，即x∈[-3，0]，
∵关于x的方程f（x）-ma+1=0有唯一实数解，
∴ax³+

3

2

ax²-6ax-ma=0（x∈[-3，0]）有唯一实数解，
∴m=x³+

3

2

x²-6x（x∈[-3，0]）有唯一实数解，
设u（x）=x³+

3

2

x²-6x（x∈[-3，0]），
∴u'（x）=3x²+3x-6=3（x+2）（x-1）（x∈[-3，0]），
令u'（x）＞0得x＜-2，或x＞1，
∴函数u（x）在[-3，-2]上是增函数，在[-2，0]上是减函数，
∴u_max=u（-2）=10，又u（-3）=

9

2

，u（0）=0，
∴当m=10或m∈[0，

9

2

）时，直线y=m与函数u（x）（x∈[-3，0]）的图象有唯一公共点，
∴实数m的取值范围为m=10或m∈[0，

9

2

）．

点评：本题考查了利用导数求函数的极值、最值等知识点；注意把方程解的个数问题转化为对应函数图象的交点个数问题，可使问题直观易懂．