题目内容

对一切实数x有ax2+bx+c≥0（其中a≠0，a＜b），当实数a，b，c变化时，
a+b+c
b-a
的最小值是（　　）
分析：先确定0＜a＜b，c≥
b2
4a
，再构建函数求最值，即可得出结论．
解答：解：∵对一切实数x有ax2+bx+c≥0，∴0＜a＜b，
∵△≤0，∴c≥
b2
4a

∴
a+b+c
b-a
≥
a+b+
b2
4a
b-a
=
1+
b
a
+
1
4
•(
b
a
)2
b
a
-1

令y=
1+
b
a
+
1
4
•(
b
a
)2
b
a
-1
，则有
1
4
•(
b
a
)2+(1-y)•
b
a
+1+y=0①
∵△′≥0，解得y≥3，或y≤0．
再由0＜a＜b可得
b
a
＞1，∴y＞0
∴y≥3，
∴
a+b+c
b-a
的最小值是3，
故选B．
点评：本题主要考查二次函数判别式的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，若对一切实数x，f（x）≥f′（x）恒成立，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（I）求证：f（x）的图象与x轴无交点；
（II）若方程f（x）-2f′（x）=0有两上不同的实数根x1，x2，求证：|x1-x2|≤2
3
．
若函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象和直线y=x无交点，给出下列结论：
①方程f[f（x）]=x一定没有实数根；
②若a＜0，则必存在实数x0，使f[f（x0）]＞x0；
③若a+b+c=O，则不等式f[f（x）]＜x对一切实数x都成立；
④函数g（x）=ax2-bx+c的图象与直线y=-x也一定没有交点．
其中正确的结论个数有（　　）
对一切实数x有ax2+bx+c≥0（其中a≠0，a＜b），当实数a，b，c变化时，
a+b+c
b-a
的最小值是（　　）
A．2B．3C．4D．5
对一切实数x有ax2+bx+c≥0（其中a≠0，a＜b），当实数a，b，c变化时，的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

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