Question

设函数f（x）=2^|2x+2|-|x-1|．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若不等式f(x)≥22a-2a-

7

4

恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=2|2x+2|-|x-1|=

2x+3     (x＞1) 23x+1   (-1≤x≤1) 2-x-3    (x＜-1)

，能求出函数的单调区间．
（2）由题设知，f（x）的最小值是

1

4

，要f(x)≥22a-2a-

7

4

恒成立，则须

1

4

≥22a-2a-

7

4

成立，由此能求出a的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=2|2x+2|-|x-1|=

2x+3     (x＞1) 23x+1   (-1≤x≤1) 2-x-3    (x＜-1)

，
故函数的单增区间是[-1，1]，（1，+∞），
函数的减区间是（-∞，-1）．
（2）由（1）知，f（x）的最小值是

1

4

，
要f(x)≥22a-2a-

7

4

恒成立，
则须

1

4

≥22a-2a-

7

4

成立，
即2^2a-2^a-2≤0，
∴-1≤2^a≤2，且2^a＞0
解得，a≤1．

点评：本题考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．