题目内容

已知：函数 $数学公式$ 的最小正周期为3π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

解：（1）根据题意，得
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（3分）
∵函数f（x）的周期为3π，即 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，…（5分）
因此，函数f（x）的解析式是 $\text{[math]}$ …（6分）
（2）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
∵C∈（0，π），可得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ．…（8分）
∵在Rt△ABC中， $\text{[math]}$ ，有2sin²B=cosB+cos（A-C）
∴2cos²A-sinA-sinA=0，即sin²A+sinA-1=0，解之得 $\text{[math]}$ …（11分）
∵0＜sinA＜1，∴ $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（1）根据二倍角的三角函数公式和辅助角公式，化简得f（x）= $\text{[math]}$ ，再由函数的最小正周期为3π结合三角函数的周期公式，算出 $\text{[math]}$ 即可得到函数f（x）的解析式；
（2）根据（1）的表达式，解关于C的方程f（C）=1，结合C为三角形的内角算出C= $\text{[math]}$ ，因此将等式2sin²B=cosB+cos（A-C）化成关于A的方程，整理得sin²A+sinA-1=0，解之即得sinA的值．
点评：本题给出函数y=Asin（ωx+φ）+k的周期，求函数的表达式并依此求三角形ABC的角A的正弦值．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质和同角三角函数的基本关系等知识点，属于中档题．