Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（Ⅰ）求f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）若存在x使不等式2f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）对函数求导，根据导函数与0的关系写出函数的单调性和区间，讨论所给的区间和求出的单调区间之间的关系，在不同条件下做出函数的最值；
（Ⅱ）2f（x）≥g（x）可化为2lnx+x+≥a，令h（x）=2lnx+x+，则问题等价于h（x）_max≥a，利用导数可求得x时h（x）_max；
解答：解：（1）f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0得x=，
当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
①当0＜t＜t+2≤时，t无解；
②当0＜t＜＜t+2时，即0＜t＜时，=-；
③当≤t＜t+2时，即t≥时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt；
∴f（x）_min=．
（Ⅱ）x时，
2f（x）≥g（x）即2xlnx≥-x²+ax-3，亦即2lnx≥-x+a-，可化为2lnx+x+≥a，
令h（x）=2lnx+x+，则问题等价于h（x）_max≥a，
h′（x）=+1-=，
当x∈[，1）时，h′（x）＜0，h（x）递减；当x∈（1，e]时，h′（x）＞0，h（x）递增；
又h（）=2ln++3e=3e+-2，h（e）=2lne+e+=e++2，
而h（e）-h（）=-2e++4＜0，所以h（e）＜h（），
故x时，h（x）_max=h（）=3e+-2，
所以实数a的取值范围是：a≤3e+-2．
点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值、恒成立问题，考查转化思想，运算量较大，综合性较强．