题目内容

已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率为
1
2
，A（-a，0），B（0，b），且△ABF的面积为
3
3
2
，设斜率为k的直线过点F，且与椭圆E相交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若 
27
13
≤
AM
•
AN
≤
27
7
，求k的取值范围．
（Ⅰ）∵离心率为
1
2
，∴a=2c，b=
3
c．  
∵△ABF的面积为
3
3
2
，
∴
1
2
(2c+c)×
3
c=
3
3
2
，∴c=1
∴a=2，∴b=
3

∴椭圆E的方程为
x2
4
+
y2
3
=1；
（Ⅱ）斜率为k的直线过点F，设方程为y=k（x-1）与
x2
4
+
y2
3
=1联立，消元可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
8k2
3+4k2
，x1x2=
4k2-12
 3+4k2

∴y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=
-9k2
3+4k2

∴
AM
•
AN
=(x1+2，y1)•( x2+2，y2)=x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=
27k2
3+4k2

∵
27
13
≤
AM
•
AN
≤
27
7
，∴
27
13
≤
27k2
3+4k2
≤
27
7

∴
1
3
≤k2≤1
∴
3
3
≤k≤1或-1≤k≤-
3
3

∴k的取值范围是[
3
3
，1]∪[-1，-
3
3
]．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF2的周长等于8
2
，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8
2
．
（1）求椭圆E与双曲线G的方程；
（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2，探求k1和k2的关系；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
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已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0，b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N．
（1）若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1（0，-b）时，求此椭圆的离心率；
（2）若直线MN的斜率为-1，且原点到直线MN的距离为4（
2
-1），求此时的椭圆方程；
（3）是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-
2
2
，-
3
3
）内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的离心率e=
1
2
．直线x=t（t＞0）与曲线 E交于不同的两点M，N，以线段MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
 （1）求椭圆E的方程；
 （2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．
（2012•佛山二模）已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个交点为F1(-
3
，0)，而且过点H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．
已知椭圆E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的离心率e=
3
2
，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
（Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．

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