题目内容

设函数f（x）=2cos²x+sin2x+a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若f（x）=0在[0， $数学公式$ 上有两个不同的根，求a的取值范围．

解：（1）∵f（x）=2cos²x+sin2x+a
=1+cos2x+sin2x+a
= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1+a
∴函数f（x）的最小正周期T= $\text{[math]}$ =π；
由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，得：
kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈Z，
（2）∵x∈[0， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ ≤sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤1，
∴-1≤ $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$ ；
∵f（x）=0在[0， $\text{[math]}$ 上有两个不同的根，
∴y=-1-a与y= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），x∈[0， $\text{[math]}$ 有两个不同的交点，
∴1≤-1-a＜ $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ ＜a+1≤1，
∴- $\text{[math]}$ -1＜a≤0．
分析：（1）利用三角函数间的关系式可整理得到f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1+a，利用正弦函数的性质可求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）利用y=-1-a与y= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），x∈[0， $\text{[math]}$ 有两个不同的交点即可求得a的取值范围．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的性质，属于中档题．