Question

数列{a_n}满足a₁=1，an+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N₊）．
（Ⅰ）证明：数列{

2n

an

}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设b_n=n（n+1）a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）由已知中an+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N₊），我们易变形得：

an+1

2n+1

=

an

an+2n

，即

2n+1

an+1

=

2n

an

+1，进而根据等差数列的定义，即可得到结论；
（II）由（I）的结论，我们可以先求出数列{

2n

an

}的通项公式，进一步得到数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）由（II）中数列{a_n}的通项公式，及b_n=n（n+1）a_n，我们易得到数列{b_n}的通项公式，由于其通项公式由一个等差数列与一个等比数列相乘得到，故利用错位相消法，即可求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）证明：由已知可得

an+1

2n+1

=

an

an+2n

，
即

2n+1

an+1

=

2n

an

+1，
即

2n+1

an+1

-

2n

an

=1
∴数列{

2n

an

}是公差为1的等差数列（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

2n

an

=

2

a1

+(n-1)×1=n+1，
∴an=

2n

n+1

（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知b_n=n•2ⁿ
S_n=1•2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ
2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹（10分）
相减得：-Sn=2+22+23++2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹（12分）
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2

点评：本题考查的知识点是数列的递推公式及数列求各，其中（I）中利用递推公式，得到数列{

2n

an

}是等差数列并求出其通项公式是解答本题的关键．