Question

20．已知函数f（x）=1-$\frac{a}{x}$-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））处的切线方程；
（Ⅱ）当a≥0时，记函数Γ（x）=$\frac{1}{2}$ax²+（1-2a）x+$\frac{a}{x}$-1+f（x），试求Γ（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）设函数h（a）=3λa-2a²（其中λ为常数），若函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，求h（a）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，化简函数的解析式求出函数的导数，求出斜率以及切点坐标，求解切线方程．
（Ⅱ）化简函数Γ（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}+（1-2a）x+\frac{a}{x}$-1+f（x）的解析式，求出函数的导数，通过①当a=0时，②当a＞0时，分别通过函数的极值点，判断函数的单调性．求出单调区间．
（Ⅲ）通过函数的导数为0，求出极值点，利用题意转化为函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，求出a的范围然后求解h（a）_max值即可．

解答 （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当a=1时，$f（x）=1-\frac{1}{x}-lnx$，$f'（x）=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}$，
则$f'（\frac{1}{2}）=4-2=2$，$f（\frac{1}{2}）=1-2+ln2=ln2-1$∴函数f（x）的图象在点$（\frac{1}{2}，f（\frac{1}{2}））$的切线方程为：$y-（ln2-1）=2（x-\frac{1}{2}）$，
即2x-y+ln2-2=0．…（4分）
（Ⅱ）∵$f（x）=1-\frac{a}{x}-lnx$，∴$Γ（x）=\frac{1}{2}a{x^2}+（1-2a）x-lnx$（x＞0），$Γ'（x）=ax+（1-2a）-\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}-（2a-1）x-1}}{x}$，
①当a=0时，$Γ'（x）=\frac{x-1}{x}$，
由$Γ'（x）=\frac{x-1}{x}≤0$及x＞0可得：0＜x≤1，∴Γ（x）的单调递减区间为（0，1]…（6分）
②当a＞0时，$Γ'（x）=\frac{{a{x^2}-（2a-1）x-1}}{x}$，
由ax²-（2a-1）x-1=0可得：△=（2a-1）²+4a=4a²+1＞0，
设其两根为x₁，x₂，因为${x_1}{x_2}=-\frac{1}{a}＜0$，所以x₁，x₂一正一负，
设其正根为x₂，则${x_2}=\frac{{2a-1+\sqrt{4{a^2}+1}}}{2a}$，
由$Γ'（x）=\frac{{a{x^2}-（2a-1）x-1}}{x}≤0$及x＞0可得：$0＜x≤\frac{{2a-1+\sqrt{4{a^2}+1}}}{2a}$，∴Γ（x）的单调递减区间为$（0，\frac{{2a-1+\sqrt{4{a^2}+1}}}{2a}]$．…（8分）
（Ⅲ）$f'（x）=\frac{a}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{a-x}{x^2}$，由f'（x）=0⇒x=a，
由于函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，所以a≤0或a≥2…（10分）对于h（a）=3λa-2a²，对称轴$a=\frac{3}{4}λ$，
当$\frac{3λ}{4}≤0$或$\frac{3λ}{4}≥2$，即λ≤0或$λ≥\frac{8}{3}$时，$h{（a）_{max}}=h（\frac{3}{4}λ）=\frac{9}{8}{λ^2}$；
当$0＜\frac{3λ}{4}≤1$，即$0＜λ≤\frac{4}{3}$时，h（a）_max=h（0）=0；
当$1＜\frac{3λ}{4}＜2$，即$\frac{4}{3}＜λ＜\frac{8}{3}$时，h（a）_max=h（2）=6λ-8；
综上可知：$h{（a）_{max}}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{9}{8}{λ^2}，λ≤0或λ≥\frac{8}{3}}\\{0，0＜λ≤\frac{4}{3}}\\{6λ-8，\frac{4}{3}＜λ＜\frac{8}{3}}\end{array}}\right.$．…（14分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值最值的求法，考查分类讨论以及转化思想的应用．