Question

【题目】【2018河南濮阳市高三一模】已知点在抛物线上， 是抛物线上异于的两点，以为直径的圆过点．

（I）证明：直线过定点；

（II）过点作直线的垂线，求垂足的轨迹方程．

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（II）．

【解析】试题分析：（1）代入点的坐标得到抛物线方程，设直线，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，利用，代入根与系数的关系，求得，代入直线方程，得到定点；（2）根据（1）可知，点的轨迹满足圆的方程，以为直径的圆去掉，写出圆的方程即可.

试题解析：(1)点在抛物线上，代入得，所以抛物线的方程为，

由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设， ，

联立得，得， ，

由于，所以，即，

即.(*)

又因为， ，

代入(*)式得，即，

所以或，即或.

当时，直线方程为，恒过定点，

经验证，此时，符合题意；

当时，直线方程为，恒过定点，不合题意，

所以直线恒过定点.

(2)由(1)，设直线恒过定点，则点的轨迹是以为直径的圆且去掉，方程为.