自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈N*,且x1＞0.不考虑其他因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比,死亡量与xn2成正比,这些比例系数依次为正常数a.b.c.(1)求xn+1与xn的关系式,(2)猜测:当且仅当x 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈N^*,且x₁＞0.不考虑其他因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x_n成正比,死亡量与x_n²成正比,这些比例系数依次为正常数a、b、c.

(1)求x_n+1与x_n的关系式；

(2)猜测:当且仅当x₁、a、b、c满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变？(不要求证明)

解:(1)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为ax_n,被捕捞量为bx_n,死亡量为cx_n²,

因此,x_n+1-x_n=ax_n-bx_n-cx_n²,n∈N^*,(*)

即x_n+1=x_n(a-b+1-cx_n),n∈N^*.(**)

(2)若每年年初鱼群总量保持不变,

则x_n恒等于x₁,n∈N^*,

从而由(*)式得x_n(a-b-cx_n)恒等于0,n∈N^*,

所以a-b-cx₁=0,

即x₁=.

因为x₁＞0,所以a＞b.

猜测:当且仅当a＞b,且x₁=时,每年年初鱼群的总量保持不变.

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自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为了持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用x_n表示某鱼群在第n年初的总量，n∈N^*，且x₁＞0．不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与x_n成正比，死亡量与x_n²成正比，这些比例系数依次为正数a，b，c其中b称为捕捞强度．
（1）求x_n+1与x_n的关系式；
（2）设a=2，c=1，为了保证对任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，n∈N^*，则捕捞强度B的最大允许值是多少？证明你的结论．

（05年湖南卷理）（14分）

　　自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N^*，且x₁＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x_n成正比，死亡量与x_n²成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.

（Ⅰ）求x_n+1与x_n的关系式；

（Ⅱ）猜测：当且仅当x₁，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不

要求证明）

　（Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x₁∈（0,2），都有x_n＞0，n∈N^*，则捕捞强度b的

最大允许值是多少？证明你的结论.

自然状态下的鱼类是一种可再生的资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈N^*且x₁＞0.不考虑其他因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与x_n成正比,死亡量与x_n²成正比,这些比例系数依次为正常数a、b、c.

(1)求x_n₊₁与x_n的关系式.

(2)猜测:当且仅当x₁、a、b、c满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)

(3)设a=2,c=1,为保证对任意x₁∈(0,2),都有x_n＞0,n∈N ^*,则捕捞强度b的最大允许值是多少?证明你的结论.

（Ⅰ）求x_n+1与x_n的关系式；

（Ⅱ）猜测：当且仅当x₁，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）

（Ⅲ）设a＝2，b>0，c=1为保证对任意x₁∈（0,2），都有x_n＞0，n∈N^*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.

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