Question

定义在R上的奇函数f（x）=a-

1

2x+1

，要使f^-1（x）＜1，x的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据互为反函数的定义域与值域是相同集合的性质，我们可得要使f^-1（x）＜1时，x的取值范围，即求f（x）=a-

1

2x+1

，在区间（-∞，1）上的值域，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，其函数图象过原点，易求a值．

解答：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴其函数图象过原点，
∴f（0）=a-

1

2

=0
∴a=

1

2

∴f（x）=

1

2

-

1

2x+1

∴区间（-∞，1）上f（x）=

1

2

-

1

2x+1

∈（-

1

2

，

1

6

）
即使f^-1（x）＜1，x的取值范围是（-

1

2

，

1

6

）
故答案为：（-

1

2

，

1

6

）

点评：因为f（x）是定义在R上的奇函数，其函数图象必过原点，∴f（0）=0，是奇函数最重要的性质，大家要熟练掌握．另外，互为反函数的定义域与值域是相同集合，我们可以利用此性质，很方便的将求值域的问题和求定义域的问题进行互相转化．