Question

已知不等式mx²-2x-m+1＜0．
（1）若对于所有的实数x，不等式恒成立，求m的取值范围；
（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m 的值都成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当m=0时，经检验不满足条件；解得m≠0时，设f（x）=mx²-2x-m+1，则由题意可得有

m＜0 4-4m(1-m)＜0

，解得 m∈∅．综合可得结论．
（2）由题意-2≤m≤2，设g（m）=（x²-1）m+（1-2x），则由题意可得

g(-2)＜0 g(2)＜0

，由此求得x 的取值范围．

解答：解：（1）当m=0时，1-2x＜0，即当x＞

1

2

时不等式恒成立，不满足条件．…（2分）
解得m≠0时，设f（x）=mx²-2x-m+1，由于f（x）＜0恒成立，则有

m＜0 4-4m(1-m)＜0

，解得 m∈∅．
综上可知，不存在这样的m使不等式恒成立．…（6分）
（2）由题意-2≤m≤2，设g（m）=（x²-1）m+（1-2x），则有

g(-2)＜0 g(2)＜0

，
即

-2x2-2x+3＜0 2x2-2x-1＜0

，解之得

-1+ 7

2

＜x＜

1+ 3

2

，
所以x的取值范围为{x|

-1+ 7

2

＜x＜

1+ 3

2

}． …（12分）

点评：本题主要考查一元二次不等式的应用，函数的恒成立问题，体现了分类讨论和转化的数学思想，属于中档题．