Question

设函数f（x）=（2x+1）ln（2x+1）．
（1）求f（x）的极小值；
（2）若x≥0时，都有f（x）≥2ax成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对所给的函数求导，使得导函数等于0，求出对应的x的值，判断这个点的两侧函数的导函数的符号，从而确定函数的极值．
（2）构造新函数令g（x）=（2x+1）ln（2x+1）-2ax，对函数求导．对于所求的导函数的结果进行讨论，对于a的不同的值导函数的符号不一致，分两种情况进行讨论，求出a的值．

解答：解：（1）∵f^′（x）=2ln（2x+1）+2，
f^′（x）=0，
∴x=

1

2

(

1

e

-1)
当x∈(

1

2

(

1

e

-1)， +∞)，f^′（x）＞0
当x∈(-

1

2

，(

1

2

(

1

e

-1))，f^′（x）＜0
∴函数的极小值是f（

1

2

(

1

e

-1)+=-

1

e

（2）x≥0时，都有f（x）≥2ax成立，
令g（x）=（2x+1）ln（2x+1）-2ax
g^′（x）=2[ln（2x+1）+1-a]=0，x=

1

2

ea-1-1
当a≤1，a-1≤0，

1

2

ea-1-1≤0
g^′（x）≥0恒成立，
∴g（x）在[0，+∞）上单增，
∴g（x）≥g（0）=0成立，对于x≥0时，都有f（x）≥2ax成立，
当a＞1时，a-1＞0，

1

2

(ea-1-1)＞0
当x∈[0，

1

2

(ea-1-1))，g^′（x）＜0恒成立，
又g（0）=0，∴当x∈[0，

1

2

(ea-1-1))时，g（x）≤g（0）=0成立，
即当a＞1时，不是所有的x≥0都有f（x）≥2ax，
综上可知a≤1．

点评：本题看出恒成立问题，本题解题的关键是利用函数的导数来判断函数的单调性和求函数的极值，这是常见的一种题型，是一个综合题目．