Question

设函数f（x）=x²-xlnx+2，
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在区间[a，b]⊆[

1

2

，+∞)，使f（x）在[a，b]上的值域是[k（a+2），k（b+2）]，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知函数f（x）=x²-xlnx+2，对f（x）进行求导，利用导数求函数的单调区间；
（Ⅱ）要求存在区间，使f（x）在[a，b]上的值域是[k（a+2），k（b+2）]，将其转化为f（x）=k（x+2）在[

1

2

，+∞）上至少有两个不同的正根，再利用导数求出k的取值范围；

解答：解：（Ⅰ）令g（x）=f′（x）=2x-lnx+1（x＞0），则g′（x）=2-

1

x

=

2x-1

x

，（x＞0）
令g′（x）=0，得x=

1

2

，
当0＜x＜

1

2

时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
当x≥

1

2

时，g′（x）≥0，g（x）为增函数；
所以g（x）在（0，

1

2

）单调递减，在[

1

2

，+∞）单调递增，
则g（x）的最小值为g（

1

2

）=ln2＞0，
所以f′（x）=g（x）≥g（

1

2

）＞0，
所以f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在区间[a，b]⊆[

1

2

，+∞）递增，
∵f（x）在[a，b]上的值域是[k（a+2），k（b+2）]，
所以f（a）=k（a+2），f（b）=k（b+2），

1

2

≤a＜b，
则f（x）=k（x+2）在[

1

2

，+∞）上至少有两个不同的正根，
k=

f(x)

x+2

，令F（x）=

f(x)

x+2

=

x2-xlnx+2

x+2

(x≥

1

2

)，
求导得，F′（x）=

x2+3x-2lnx-4

(x+2)2

（x≥

1

2

），
令G（x）=x²+3x-2lnx-4（x≥

1

2

）
则G′（x）=2x+3-

2

x

=

(2x-1)(x+2)

x

≥0
所以G（x）在[

1

2

，+∞）递增，G（

1

2

）＜0，G（1）=0，
当x∈[

1

2

，1]时，G（x）＜0，∴F′（x）＜0，
当x∈[1，+∞]时，G（x）＞0，∴F′（x）＞0，
所以F（x）在[

1

2

，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
∴F（1）＜k≤F（

1

2

），
∴k∈（1，

9+2ln2

10

]；

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，利用了转化的思想，此题是一道中档题；