Question

已知椭圆C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)的上顶点为A，左右焦点分别为F₁、F₂，直线AF₂与圆M：x²+y²-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆C内的动点P，使|PF₁|，|PO|，|PF₂|成等比数列（O为坐标原点，）求

PF1

•

PF2

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出圆的标准方程以及直线AF₂与的方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求出对应的椭圆的方程；
（Ⅱ）先利用|PF₁|，|PO|，|PF₂|成等比数列求出点P的坐标满足的等量关系，再代入

PF1

•

PF2

借助于点P在椭圆内就可求出

PF1

•

PF2

的取值范围．

解答：解：（1）将圆M：x²+y²-6x-2y+7=0化为标准方程（x-3）²+（y-1）²=3，
圆M的圆心为M（3，1），半径为r=

3

，（2分）
由A(0，1)，F2(c，0)，(c=

a2-1

)得直线AF₂：

x

c

+y=1，即x+cy-c=0（3分）
直线AF₂与圆M：相切得

|3+c-c|

c2+1

=

3

，c=

2

，c=-

2

（舍去）（5分）
当c=

2

时，a²=c²+1=3，故椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1（6分）
（2）由（1）得，F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，设P（x，y），
由题意得|PO|²=|PF₁||PF₂|，即(

x2+y2

)2=

(x+ 2 ) 2+y2

•

(x- 2 )2+y2

化简得：x²-y²=1   （9分）

PF1

•

PF2

=x2-2+y2=2x2-3（10分）
∵点P为椭圆内的动点，∴1≤x²＜

3

2

（12分）
∴-1≤

PF1

•

PF2

＜0（13分）

点评：本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．