Question

【题目】如图，在各棱长均为2的三棱柱中，侧面底面， .

(1) 求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；

(2) 求异面直线间的距离；

(3) 已知点满足，在直线上是否存在点，使平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3) 存在点，使平面，且为点.

【解析】试题分析：

(1)建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量可得侧棱与平面所成角的正弦值的大小是；

(2)结合异面直线距离公式计算可得异面直线间的距离是；

(3)利用空间向量的结论计算可得存在点，使平面，且为点.

试题解析：

(1) ∵面底面，作于点面，

又 ，且各棱都相等

故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则

∴

设平面的法向量为，

则，即，所以，取

由，∴侧棱与平面所成角的正弦值的大小为；

(2)

异面直线公垂线的方向向量；

，取

异面直线的距离为

(3) ，所以点的坐标为

假设存在点符合题意，设，则

因平面， 为平面的法向量

∴

又面，故存在点，使平面，且为点.